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Lo primero de todo, aunque te guste alguna de estos servicios alternativos, es que ni se te ocurra cerrar ya tu cuenta de Feedburner, pues como poco la necesitarás para hacer redirecciones temporales hasta que compruebes que el nuevo servicio funciona como deseas.
Hecha esta puntualización vamos a ver posibles alternativas, algunas muy interesantes:

FeedStats – Veterano plugin WordPress que he usado en más de una ocasión. Utiliza el feed por defecto de WordPress y es muy completo. Su única pega es el enorme almacenamiento de información en la base de datos que hace, pero es gratis y muy bueno.
Aweber – Herramienta para gestionar listas de correo. No es gratis, cuesta desde 19$ al mes por 500 suscriptores. Algo que me gusta es que puedes crear una distribución por email desde tu feed RSS sin pagar más.
Feedblitz – Quizás el más parecido a Feedburner, pues ofrece herramientas de optimización y mejora de los feeds, que es para lo que está diseñado. Por 1,49$ al mes tienes lo mismo prácticamente que Feedburner, excepto la gestión de suscripciones por email, que cuesta unos 9,98$ al mes por 500 suscriptores.
Knews – fantástico plugin para gestionar listas de correo, completísimo y gratis.
FeedCat – Muy similar a Feedblitz y Feedburner, en este caso totalmente gratis, muy buena opción.
RapidFeeds – Servicio completísimo, no le falta de nada, ni podcasting ni estadísticas. Para hasta 3 feeds cuesta 4,49$ al mes, si quieres gestión ilimitada te toca aforar 13,95$ cada mes. Buenísimo.
Feedity - Si solo tienes 5 feeds es gratis, y es muy completo. Eso si, para tener estadísticas y quitar publicidad de tus feeds hay que pagar a razón de 6$ al mes.
JetPack - Ya lo sabes, con JetPack puedes gestionar suscripciones por email de manera gratuita, es limitado pero funciona.
MailChimp - Veterana herramienta de gestión de suscripciones por email, gratis hasta los 2000 suscriptores y 12.000 emails por mes. Puedes enviar tu RSS por email también. Si quieres más ya hay que pagar 10$ al mes.
RevResponse – Este si es gratis, y permite gestionar suscripciones por email
Subscribe2 – Plugin WordPress que envía avisos a los suscriptores de tu sitio cuando se publica algo nuevo. Gratis.
Subscribe by Email – Este es otro plugin WordPress que tiene la misma funcionalidad que Subscribe2. Es cuestión de gustos la elección de uno u otro pero yo he usado más Subscribe2.

Cómo migrar Feedburner a otro servicio

El método, como puedes imaginar, variará dependiendo de si solo migras feeds, o también listas por email, incluso podcasts, pero hay unas reglas básicas que no debes dejar pasar.

Exporta tus suscriptores – En la sección “Publicize”, apartado “Suscripciones por email”, tienes al final del todo la lista de suscriptores, que puedes exportar en formato CSV para luego importar en el nuevo servicio.
Cambia los enlaces – Que no se te olvide cambiar los enlaces que tengas a Feedburner hacia el nuevo servicio y cuenta. Acuérdate también de los iconos sociales, que a veces también ofrecen icono a tu cuenta de Feedburner. También revisa tu tema WordPress si modificaste los enlaces al feed por defecto para poner el enlace a Feedburner.
Cambia las redirecciones – Ya sea mediante servicios externos o plugins WordPress, cambia cualquier redirección del feed por defecto de WordPress al de Feedburner, sustituyéndolo por la dirección obtenida en el nuevo servicio.
Avisa a tus lectores – Nunca está de más avisar a tus lectores y suscriptores del cambio, para que pueda actualizar sus suscripciones al nuevo servicio o dirección.
No borres tu cuenta de Feedburner aún – Usa la posibilidad que ofrece Feedburner de redirigir durante 30 días el feed a otra dirección, haciendo así transparente y sencilla la migración para tus suscriptores.
Usa la redirección permanente de Feedburner – Mientras no cierren el servicio un truco muy apañado que puedes hacer, tras los 30 días de redirección, es borrar el feed previo, crear uno nuevo y, en vez de darle la URL del feed por defecto de WordPress, poner la del nuevo servicio. Lo denominas igual (para que los que no actualizaron sigan recibiendo los feeds bien) y guardas.
Cambia el feed para los podcasts – Ya sea que uses un plugin o iTunes, cambia la dirección del RSS para tus podcasts.